题目
赌局规则如下：
- 两人各自亮出硬币的一面
- 如果两人都是正面，那么 A 给 B 3 元
- 如果两人都是反面，那么 A 给 B 1 元
- 剩下的情况（即一正一反），B 给 A 2 元
直觉误区：它看起来像一个“公平概率题”
一个很常见的错误解法是：
- 两人都正面的概率是
- 两人都反面的概率是
- 一正一反的概率是
于是 B 的期望收益似乎是：
因此表面上看，这好像是个公平游戏。
关键纠正：这不是抛硬币，而是“选策略”
这道题真正的问题在于：
亮出正面还是反面，不是随机抛硬币，而是参与者可以自行控制的策略选择。
所以它不是一个普通的概率题，而是一个经典的：
零和混合策略博弈问题。
也就是说，双方不是被动接受概率，而是在选择：
- 我多大概率出正面？
- 多大概率出反面？
一、把问题写成策略模型
设：
- A 出正面的概率为
- B 出正面的概率为
那么 A 的期望收益为：
对应地，B 的期望收益为：
因为是零和博弈，所以：
二、这个游戏的核心：混合策略纳什均衡
这类题的关键不是“算一次期望”，而是找：
双方在什么概率策略下，谁都没有动力单方面改变自己的选择。
这就是混合策略纳什均衡。
原答案给出的结论是：
也就是说：
- A 以 的概率出正面
- B 也以 的概率出正面
这是这个博弈的唯一混合策略纳什均衡。
三、为什么是 ：直观理解
混合策略均衡的一个常见思路是：
让对手无论选哪种纯策略，得到的期望都一样。
这样对手就不会偏向某一边，也就达成均衡。
对 A 来说，需要让 B 觉得：
- 选正面
- 或选反面
得到的期望是一样的。
原答案给出的方程是：
左边表示 B 出正面时，A 的收益；右边表示 B 出反面时，A 的收益。
解得：
同理也可以推出：
四、均衡下谁占优
如果 A 采用均衡策略 ，并设 B 以任意概率 出正面，那么 B 的期望收益是：
化简后得到：
也就是说：
无论 B 怎么选，只要 A 采用了最优混合策略，B 的平均收益都是每轮亏 元。
于是 A 的平均收益就是：
五、这道题真正说明了什么
这题最值得记的，不是某个具体结果，而是下面这个判断：
1. 不能把“策略选择”误当成“自然概率”
如果双方的行为是可控的，那么概率就不再是题目直接给定的，而是参与者自己决定的。
2. 零和博弈里的关键不是算静态期望
而是找出：
- 最优策略
- 对手最优应对
- 最终均衡点
3. “看起来公平”不等于真的公平
表面上按 去算是公平的， 但一旦允许双方主动选策略，游戏结构就变了。
六、原答案补充的一个公平版本
原文还给了一个对照规则：
- 两硬币同一面，则 A 给 B 2 元
- 一正一反，则 B 给 A 2 元
在这个版本下，作者认为：
对 A、B 都公平，即不论采取何种策略，都无法保证赢，期望等于零。
这个对照很有启发性：
- 有的博弈一眼看着对称，实际上不公平
- 有的规则改动一点，就真的变成公平博弈
七、这篇笔记最值得记住的结论
1. 这道题不是概率题，而是博弈论题
重点不在随机，而在策略。
2. 误区在于默认双方“各 50% 出正反面”
实际上，参与者完全可以调整自己的出手概率。
3. 该博弈的唯一混合策略纳什均衡是：
4. 在最优策略下，A 才是长期占优的一方
A 每轮平均赢：
B 每轮平均输：
5. “必赢”在这里不是每局都赢
而是：
长期重复博弈下，只要使用最优混合策略，期望上稳定占优。